Gewinnerwartung bei US-Giga-Jackpots knapp positiv?

by mnockerl on 11. Oktober 2013

Eigentlich bringt es nur etwas, über Lotto zu schreiben, wenn gerade in nächster Zeit ein großer Jackpot die Aufmerksamkeit der Medien erregt. Ansonsten versickern ja eigentlich solche Posts. Aber, weil ich keine Ahnung habe, wann in Deutschland oder Europa der nächste Riesenjackpot winkt und ich aber unbedingt den Beitrag von Walter Hickey auf Business Insider hier dokumentieren will, schreibe ich einfach mal einfach zwischendurch diesen Post.

Walter Hickey hat in dem Beitrag “According To Math, Here’s When You Should Buy A Powerball Ticket” sich nämlich sehr detailliert damit auseinander gesetzt, wann es sich lohnt, ein Ticket der US-Powerball-Lotterie zu erwerben. Anlass war, dass vor ein paar Wochen der Jackpot dieser US-Lotterie mal wieder einen hohen dreistelligen Millionen-Dollar-Betrag erreichte. Mitte September waren es 400 Mio US$ und er fragte sich, ab welcher Höhe des Jackpots es sich lohnen könnte, daran teilzunehmen.

Ich fand diese mathematische Auseinandersetzung damit ganz spannend und erinnere in diesem Zusammenhang an einen Beitrag hier im Blog vom 1.4.2012: “Alle Kombinationen gespielt: US-Giga Jackpot u.a. von Hedgefonds aus Chicago geknackt.” Der Beitrag (man achte auf das Erscheinungsdatum) war natürlich nicht ernst gemeint. Aber die Mathematik damals war richtig:

Bei einer Ausschüttung von 640 Mio. US$ und einer Chance auf den Jackpot von 1:176 Millionen sowie einem Lospreis von 1 US$ pro Tipp, brauchte man für den sicheren Gewinn nur alle 175.711.536 Kombinationen (fünf Richtige aus 56 + eine Superzahl zwischen 1 und 46) zu tippen. Das kostete einen Spieleinsatz von 176 Mio. US$ ….”

Hickey setzt genau an dieser Stelle an und ergänzt, dass die Frage, ob sich ein Teilnahme lohne, nicht so einfach zu beantworten sei, denn neben der Berechnung der Gewinnchancen eines potenziellen Jackpots, muss man herausfinden, wie hoch das Risiko ist, dass dieser Jackpot aufgeteilt werde. Und dieses Risiko verändert sich, denn je größer der Jackpot, desto mehr Leute kaufen Tickets.

Hickey arbeitet einige interessante Fakten heraus. So errechnet er, dass der erwartete Wert einer Ticketinvestition -1,58 Dollar beträgt, wenn man den Jackpot nicht berücksichtigt. Aber er hält auch fest, dass man bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 zu 175,223,516 auch einen positiven Erwartungswert erreichen könnte. Dazu müsse man aber das Risiko schätzen, wie viele Jackpot-Gewinner es geben könnte. Er hat dazu die Daten aus 1.117 Ziehungen ausgewertet, um das Verhältnis zwischen der Anzahl verkaufter Tickets und der Höhe des Jackpots zu ermitteln. Das Ergebnis gibt es in dieser Grafik.

Er hat daraus zunächst über eine lineare Regression folgende Formel für die Anzahl verkaufter Tickets ermittelt:

Tickets Sold = 217,629*(Jackpot in Millions) + 5,912,850

Genauer wird die Formel über eine polynomiale Regression

Tickets Sold = 670*(Jackpot in Millions)2 + 19,989*(Jackpot in Millions) + 1,4063,282

Ich will hier jetzt nicht Hickeys Berechnungen im Detail nachzeichnen, das kann jeder im Originaltext machen. Am Ende kommt er zum Ergebnis, dass ein Powerball-Ticket nur ab einer Jackpothöhe von 380 MIo. US$ einen leicht positiven Barwert hat, aber nur wenn man sich dazu entscheidet, sich den Gewinn jährlich über 30 Jahresraten auszahlen zu lassen. Denn nur dann könnte die Gewinnerwartung bei einem US-Giga-Jackpots knapp positiv sein.

Beim Powerball kann man sich auch den Gesamtbetrag in einer Summe auszahlen lassen (cash up-front-option), dann wird allerdings deutlich weniger ausgezahlt. Schaut man auf die Poerball-FAQ ist aber nicht klar, wie hoch der Abschlag jeweils ist. Hickey hat ermittelt, dass bei Auszahlung in 30-Jahresraten die Auszahlungssumme um den Faktor 1,8, also 80% Höher ist, als bei Einmalzahlung.

Was Hickey übrigens nicht berücksichtigt in seiner Berechnung ist der Zeitwert des Geldes und der erforderlichliche Zinsaufwand, wenn man alle Kombinationen durchspielen wollte. Ob die Gewinnerwartung dann immer noch positiv ist, habe ich allerdings nicht berechnet. Wer nun selbst mehr rechnen will, der kann sich ja einen der rund um den Globus veranstalteten Lotterien und deren Jackpots bzw. Gewinnsummen (Übersicht z.B.hier über Lotto Online) ansehen und ein wenig weiter kalkulieren. Und wer noch mehr über US-Lottostatistiken lesen will, der wird hier fündig

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